Mueve el hiperplano W para comprobar cómo el objeto 4D aparece, muta de silueta y desaparece al cruzar nuestro espacio tridimensional (igual que una manzana 3D se ve como un círculo cambiante al cruzar un plano 2D de Planilandia).
Obras cumbre de la geometría multidimensional, física teórica y modelos físicos en 3D para comprender intuitivamente el hiperespacio.
La genial fábula alegórica que explica cómo un ser de una dimensión inferior puede llegar a concebir una dimensión superior a través de la analogía del cuadrado y la esfera.
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Ver en Amazon Buscar más modelos similaresVivimos confinados en un universo tridimensional (con ejes de longitud, anchura y altura). Por esa limitación biológica, nuestro cerebro no puede visualizar de forma directa una cuarta dirección espacial que sea perfectamente perpendicular a las tres a la vez. Sin embargo, gracias a las matemáticas y a la proyección de sombras podemos comprender sus propiedades con total rigor.
En 1884, el matemático británico Edwin A. Abbott escribió Planilandia (Flatland). Imaginó un mundo plano de dos dimensiones habitado por figuras geométricas planas como cuadrados y triángulos, que desconocían por completo la existencia del "arriba" o el "abajo".
Cuando una esfera tridimensional decide visitar Planilandia y atraviesa su suelo, los habitantes planos no ven una esfera. Solo pueden percibir el corte transversal que coincide con su plano: primero un punto que surge de la nada, luego un círculo que se hace cada vez más grande hasta alcanzar el ecuador de la esfera, y finalmente el círculo encoge hasta desvanecerse en el vacío.
De forma totalmente idéntica, el escáner de corte transversal de esta herramienta nos permite situarnos como los habitantes tridimensionales que ven atravesar un objeto de cuatro dimensiones por nuestro espacio. Al variar la coordenada W, observamos cómo el sólido 3D resultante cambia de silueta en tiempo real.
Al proyectar un cubo 3D sobre una hoja de papel 2D con perspectiva, dibujamos un cuadrado pequeño dentro de un cuadrado grande unido por cuatro líneas diagonales. Sabemos que el cuadrado interior no es más pequeño en la realidad: simplemente está más alejado de nuestros ojos en el tercer eje de profundidad Z.
Con el teseracto ocurre exactamente lo mismo: la clásica representación de un cubo dentro de otro cubo es una sombra tridimensional en perspectiva de un hipercubo regular en el que las 8 células cúbicas son idénticas en tamaño. El cubo interior no es más chico; simplemente está más alejado en el cuarto eje espacial W. Al rotar el teseracto en el plano XW, el cubo interior se expande hacia el exterior y el exterior se contrae hacia el centro, completando una inversión tetradimensional continua.
En el espacio 3D, todo giro se realiza alrededor de un eje lineal unidimensional (como la aguja de un reloj o el eje de la Tierra). En cuatro dimensiones espaciales, no se gira alrededor de una línea, sino alrededor de un plano bidimensional completo que permanece inmóvil. Por ello existen 6 planos de rotación ortogonales independientes en el grupo SO(4): tres planos familiares que solo mezclan ejes tridimensionales (XY, XZ, YZ) y tres planos estrictamente tetradimensionales (XW, YW, ZW).
Es un fenómeno fascinante exclusivo de cuatro dimensiones. En 4D es posible rotar simultáneamente en dos planos completamente perpendiculares (por ejemplo, en el plano XY y en el plano ZW) sin que ninguno interfiera con el otro. Cuando las velocidades angulares de ambos giros son idénticas, todos los puntos del espacio describen círculos concéntricos perfectos a velocidad constante, dando origen a la célebre fibración de Hopf y a los toros de Clifford.
En el espacio 3D, una botella de Klein está obligada a atravesar su propia pared de cristal para poder cerrarse. Sin embargo, en cuatro dimensiones existe una dirección extra de maniobra: la coordenada W permite que el cuello de la botella se eleve fuera de nuestro espacio tridimensional y vuelva a entrar por la base sin rozar ni tocar en ningún momento la superficie, creando una variedad bidimensional suave y cerrada sin autointersecciones físicas.
Al igual que un cubo 3D se puede recortar y desdoblar en una cruz plana de 6 cuadrados 2D sobre una mesa, un teseracto tetradimensional se desdobla en el espacio 3D formando una red de 8 cubos tridimensionales ensamblados en cruz. Esta figura geométrica exacta fue utilizada por Salvador Dalí en su célebre pintura Corpus Hypercubus de 1954 para representar la trascendencia espiritual a través de la cuarta dimensión matemática.
